ANALISI MATEMATICA

Anno accademico 2022/2023 - Docente: Salvatore D'ASERO

Risultati di apprendimento attesi

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni, le serie numeriche, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills): studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali. Prove di autovalutazione. Prove in itinere.

Qualora l’insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

Prerequisiti richiesti

Conoscenze di base di aritmetica, algebra, geometria analitica nel piano,  trigonometria.

Frequenza lezioni

Frequenza obbligatoria nel limite minimo previsto dal regolamento didattico del corso di laurea

Contenuti del corso

  1. Insiemi numerici. Introduzione di R per via assiomatica. Assioma di completezza. Topologia di R: Intervalli. Intorni di un punto, punti di accumulazione e loro caratterizzazione, punti isolati. Minimo e massimo di un insieme numerico. Minoranti, maggioranti, estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme numerico.
  2. Funzioni reali di una variabile reale. Definizione di funzione e di grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni monotone. Funzioni limitate. Punti di minimo e di massimo assoluto. Punti di minimo e di massimo relativo. Funzioni composte. Esempi di funzioni: funzioni lineari, funzione identità, funzioni quadratiche, funzione modulo o valore assoluto, funzione segno, funzioni trigonometriche. Funzioni inverse. Funzioni composte. 
  3. Successioni numeriche. Definizione di successione numerica. Successioni monotone. Limite di una successione: successione convergente, divergente positivamente, divergente negativamente. Successioni irregolari o oscillanti. Successioni infinitesime. Successioni infinitamente grandi. Successioni estratte. Teoremi sui limiti di successioni: limitatezza delle successioni convergenti e controesempio, algebra dei limiti, teoremi di permanenza del segno, teoremi di confronto, teoremi sulle successioni estratte.
  4. Serie numeriche. Definizione di serie numerica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica e relativo controesempio. Serie geometrica.  Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto e della radice, criterio di Raabe. Serie a segno variabile. Serie a segno alterno e criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie numerica e sua relazione con la convergenza semplice: definizioni, teoremi, esempi e controesempi.
  5. Funzioni reali di variabile reale. Definizioni di limite di funzione. Caratterizzazione sequenziale del limite di una funzione e sue applicazioni alla non esistenza di limiti. Teoremi vari sui limiti di funzioni. Continuità di una funzione in un punto. Continuità di una funzione in un insieme. Punti di discontinuità. Operazioni tra funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeriTeorema dei valori intermedi.  Teorema di Weierstrass.
  6. Calcolo differenziale. Definizione di derivata prima di una funzione in un punto e relativa interpretazione geometrica. Relazione tra continuità e derivabilità e relativi controesempi. Punti angolosi, di cuspide e di flesso a tangente verticale. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni inverse. Teoremi del calcolo differenziale: teorema di Fermat e relativo controesempio, teorema di Rolle, Teorema di Lagrange. Corollari del Teorema di Lagrange. Teorema di De L’Hôpital e relativi esempi e controesempi. Asintoti per il grafico di una funzione: orizzontali, verticali e obliqui. Derivate di ordine superiore. Concavità, convessità e flessi. Formula di Taylor. Studio di funzione.
  7. Calcolo combinatorio, statistica e probabilità. Disposizioni, permutazioni, combinazioni, semplici e con ripetizione. Definizione di probabilità classica e di probabilità frequentista. Probabilità condizionata. Moda, media e mediana. Cenni ai test di ipotesi. Applicazioni.
  8. Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale. Elementi di teoria della misura secondo Peano-Jordan. Integrale definito: definizione e proprietà. Funzioni primitive e loro caratterizzazione. Definizione di integrale indefinito. Funzioni integrali e funzioni primitive: il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: integrazione per decomposizione

Testi di riferimento

  1. S. Motta, M.A. Ragusa – Metodi e Modelli Matematici – Libreria CULC (2011).
  2. S. Motta, M.A. Ragusa, A. Scapellato – Metodi e Modelli Matematici. Esercizi e Complementi – Libreria CULC (2013).
  3. Dispense distribuite dal Docente

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Insiemi numerici1,2
2Funzioni reali di una variabile reale 1,2
3Successioni numeriche1,2
4Serie numeriche1,2
5Funzioni continue1,2
6Calcolo differenziale1,2
7Calcolo combinatorio, statistica e probabilità1,2,3
8Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale1,2

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio. Al colloquio si accede una volta superata la prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio verranno valutati in trentesimi. La valutazione della prova scritta incide parzialmente sulla formulazione del voto finale. La registrazione dell'esame avrà luogo solo dopo il superamento del colloquio. 

N.B.: La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Saper dare una definizioni: estremi di un insieme numerico; varie definizioni di limite; teoremi sui limiti di funzioni; funzioni continue e loro proprietà; funzioni derivabili e loro proprietà, integrale indefinito e sue proprietà; integrale definito e sue proprietà,  disposizioni, permutazioni e combinazioni; probabilità: definizioni, proprietà e applicazioni.

Saper enunciare e dimostrare teoremi: teoremi fondamentali del calcolo differenziale; formula di Taylor e sue applicazioni;

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