ISTITUZIONI DI MATEMATICHE 4

I principali obiettivi di questo insegnamento sono:

1) abituare lo studente al rigore logico, che negli studi scientifici riveste un'importanza fondamentale;

2) mettere lo studente in grado di conoscere  i principali oggetti della Matematica e comprendere in che modo essi possano intervenire nello studio di discipline diverse.

Più in dettaglio, gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti matematici: fra questi limiti, derivate e integrali per le funzioni di una variabile ed elementi di Algebra lineare.

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alla Biologia, lo studente potrà apprezzare l’importanza della Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi della Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per renderle più fruibili a quegli studenti che sono meno attratti dalla Matematica teorica.

Abilità comunicative (communication skills): studiando la Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.

Capacità  di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Le lezioni si svolgeranno possibilmente in aula, se sarà necessario si svolgeranno in modalità telematica. Quanto, fra le informazioni che seguono, è riferito al lavoro in classe, vale anche, per estensione, per la modalità telematica, con opportune piccole variazioni, sempre nel rispetto del programma previsto. I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi; altri esercizi saranno affidati agli studenti che li svolgeranno in classe, singolarmente o in gruppo, e poi confronteranno la loro soluzione con quella che, subito dopo, il docente esporrà. Alcuni esercizi prevederanno dei test a risposta multipla: in questo caso il docente lascerà che gli studenti riflettano per alcuni minuti e poi proporrà una votazione per alzata di mano o, se le strutture lo consentono, mediante strumenti telematici (mentimeter), per individuare la percentuale di risposte esatte: questi sono generalmente i momenti più divertenti e partecipati delle esercitazioni in classe. Gli esercizi non sono solo tecnici ma possono anche consistere in riflessioni ed  esposizione di brevi argomenti. Si darà infatti molto spazio agli aspetti teorici, alla capacità di collegare fra loro i vari argomenti, alla costruzione di un linguaggio corretto. Durante tutte le lezioni si dedicherà un breve spazio al ripasso di argomenti svolti prima e ad alcuni argomenti di base che, tradizionalmente, sono fonti di lacune. Molti degli esercizi proposti in classe, ed altri ad essi simili, saranno pubblicati sul portale Studium per consentire agli studenti di allenarsi durante lo studio personale.

La frequenza dei corsi è obbligatoria. La frequenza si intende acquisita se lo studente ha frequentato almeno

il 60% delle ore curriculari previste dalla disciplina.

Teoria degli Insiemi. Insiemi. Elementi di un insieme. Insiemi uguali. Proprietà e implicazioni. Sottoinsiemi. Insieme vuoto. Insieme delle parti. Inclusione. Unione e intersezione di insiemi. Proprietà dell'unione e dell'intersezione . Insiemi disgiunti. Partizione di un insieme. Differenza di insiemi. Proprietà della differenza. Complementare di un insieme. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazione binaria fra due insiemi. Relazione d'ordine. Insiemi ben ordinati. Insiemi totalmente ordinati. Relazione di equivalenza. Insieme quoziente. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Insiemi Numerici. Numeri interi, razionali e loro rappresentazione sulla retta dei numeri. Irrazionalità della soluzione di x² = 2*. Il campo ordinato dei numeri reali. Assiomi relativi all'ordinamento. Assioma di Completezza. Densità di Q in R. Insiemi di Numeri Reali. Insiemi di numeri reali. Insiemi limitati inferiormente e superiormente. Insiemi limitati. Estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme di numeri reali. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Calcolo Combinatorio. Calcolo combinatorio. Raggruppamenti. Disposizioni semplici. Disposizioni con ripetizione. Fattoriale di un numero. Proprietà del fattoriale di un numero. Definizione ricorsiva della funzione fattoriale. Combinazioni semplici. Combinazioni con ripetizione. Matrici e Determinanti. Matrici. Matrici rettangolari e matrici quadrate. Matrici uguali ed opposte. Matrice nulla. Matrice riga e matrice colonna. Matrice trasposta. Proprietà dei determinanti. Minori complementari e complementi algebrici di una matrice. Matrici rettangolari. Caratteristica di una matrice rettangolare. Ordine di una matrice quadrata. Addizione e sottrazione di due matrici Prodotto di una matrice per un numero reale. Prodotto di matrici. Proprietà del prodotto di matrici. Determinante di una matrice del primo, secondo e terzo ordine. Complemento algebrico. Determinante di una matrice del terzo ordine: regola di Sarrus. Matrice inversa. Sistemi lineari. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite. Matrice associata ad un sistema. Regola di Cramer. Matrice incompleta e matrice completa. Teorema di Rouchè-Capelli. Geometria euclidea nel piano. Vettori geometrici nel piano. Vettori applicati in un punto. Somma di due vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Operatore opposto di un vettore dato. Sistema di riferimento cartesiano. Coordinate di un vettore. Equazioni parametriche di una retta. Vettore direttore e parametri direttori. Equazioni parametriche di una retta. Retta passante per due punti. Equazione cartesiana di una retta. Condizione di allineamento di tre punti. Condizione di parallelismo e intersezione di rette. Fascio di rette parallele. Fascio di rette passanti per un punto. Prodotto scalare di due vettori. Distanza tra due punti. Angolo tra due vettori non nulli. Condizione di perpendicolarità tra due rette. Distanza di un punto da una retta. Equazione della circonferenza. Geometria euclidea nello spazio. Punt, rette e piani nello spazio. Posizioni di due rette nello spazio. Posizione reciproca di due piani nello spazio. Posizione di una retta e di un piano. Perpendicolarità tra retta e piano. Perpendicolarità tra due rette. Parallelismo tra retta e piano. Distanze e angoli nello spazio. Distanza di un punto da un piano. Distanza tra retta e piano parelliDistanza tra due piani paralleli. Angolo di una retta con un piano. Angolo tra due rette sghembe. Successioni di numeri reali. Definizione di limite di una successione numerica. Teorema di unicità del limite(*). Successioni infinitesime.  Successioni costanti Successioni divergenti. Successioni regolari e indeterminate o oscillanti. Teorema della permanenza del segno (*). Successioni parziali o estratte. Teoremi del confronto (*). Successioni monotone. Limite di successioni monotone. Il numero di Nepero e. Operazioni sui limiti. Somma, differenza, prodotto e quoziente di successioni. Logaritmo del limite. Esponenziale del Limite. Forme indeterminate. Criterio di convergenza di Cauchy. Limiti notevoli di successioni. Funzioni reali di una variabile reale. Classificazione delle funzioni reali di variabile reale. Campo di esistenza di una funzioni reale di variabile reale. Zeri e segno di una funzione reale di variabile reale. Definizione e significato di limite di una funzione. Limite finito per x che tende a un valore finito. Interpretazione geometrica. Funzioni continue. Limite destro e limite sinistro. Limite infinito per x che tende ad un valore finito. Interpretazione geometrica. Asintoti verticali. Limite finito per x che tende ad un valore infinito. Interpretazione geometrica. Asintoti orizzontali. Limite infinito per x che tende ad un valore infinito. Teorema di unicità del limite (*). Teorema della permanenza del segno (*). Teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Limite della somma. Limite del prodotto. Limite del quoziente. Limite di funzioni esponenziali. Limite delle funzioni composte. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi, infiniti e loro confronto. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux. Teorema di esistenza degli zeri. Punti di discontinuità di prima specie. Punti di discontinuità di seconda specie. Punti di discontinuità eliminabili. Punti singolari. Asintoti verticali e orizzontali. Asintoti obliqui. Derivata di una funzione. Problema della tangente. Rapporto incrementale. Definizione di derivata di una funzione. Derivata sinistra e derivata destra. Continuità e derivabilità (*). Derivate fondamentali. Derivata del prodotto di una costante per una funzione. Derivata della somma di funzioni. Derivata del prodotto di funzioni. Derivata del reciproco di una funzione. Derivata del quoziente di due funzioni. Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivate di ordine superiore al primo. Retta tangente in un punto al grafico di una funzione. Punti stazionari. Retta normale. Differenziale di una funzione. Punti di non derivabilità. Flessi a tangente verticale. Punti cuspidali. Punti angolosi. Criterio di derivabilità. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange (*). Conseguenze del teorema di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti e derivate. Primo e secondo teorema di De L'Hospital. Massimi e minimi relativi. Massimi e minimi assoluti. Concavità di una funzione. Flessi di una funzione. Massimi, minimi, flessi orizzontali e derivata prima. Teorema di Fermat. Punti stazionari di flesso orizzontale. Flessi e derivata seconda. Massimi, minimi e flessi orizzontali e derivate successive. Flessi e derivate successive. Integrale indefinito. Primitive di una funzione reale di variabile reale. Integrale indefinito. Funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrali di funzioni composte. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Integrazioni di funzioni razionali fratte. Integrale definito. Il problema delle aree. Definizione di trapezoide. Definizione di integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito. Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione. Integrale della somma di funzioni. Integrale del prodotto di una costante per una funzione. Confronto tra gli integrali di due funzioni. Integrale del valore assoluto di una funzione. Integrale di una funzione costante. Teorema della media (*). Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Teorema di Torricelli-Barrow (*). Calcolo dell'integrale definito.

Sono richieste le dimostrazioni dei soli teoremi identificati con (*).

Gli argomenti identificati con (F) sono facoltativi ai fini dell'esame.

- M. Bramanti, F. Confortola, S. Salsa: Matematica per le Scienze - Zanichelli Editore

- P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazione di Matematica I - Liguori Editore

- Appunti del docente

Testi da consultare:

- G. Zwirner: Istituzioni di Matematiche - Parte 1 - CEDAM 

L'esame consiste in una prova scritta costituita da domande a risposta multipla e da esercizi sul programma svolto. La prova si intende superata se si raggiunge una votazione di almeno 18/30. Un colloquio orale può essere richiesto dallo studente che voglia migliorare la valutazione conseguita nella prova scritta.

Le domande verteranno su tutto il programma svolto. Si tratta di domande a risposta multipla. Ad esempio:

1. Un insieme si ben ordinato se:

• se gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva
• se è parzialmente ordinato
• se è parzialmente ordinato e ogni sottoinsieme non vuoto ha elemento minimo
• se è parzialmente ordinato e ogni sottoinsieme non vuoto ha elemento massimo

2. Sia S un sistema lineare di n equazioni in m incognite, e siano A e A' la matrice associata e completa rispettivamente di S. Il teorema di Rochè-Capelli afferma che S ammette un'unica soluzione se:

• rango (A) = rango (A')
• rango (A) = rango (A') = n
• rango (A) = rango (A') = m
• in nessun caso

3. Ogni successione monotona è:

• limitata
• regolare
• indeterminata
• infinitesima

4. Quale delle seguenti affermazioni è vera:

• funzioni derivabili sono continue
• funzioni continue sono derivabili
• funzioni continue sono invettive
• funzioni derivabili sono limitate
  

Inoltre, è utile fare riferimento agli esercizi svolti e/o proposti e alle prove d'esame assegnate negli anni precedenti inserite su Studium.

Ricevimento Studenti
Il ricevimento degli studenti avverrà on-line, previo appuntamento, tramite la piattaforma Microsoft Teams.
Per eventuali informazioni o chiarimenti, scrivere all'indirizzo e-mail antonino.leonardi1@unict.it